Chiều biến thiên và cực trị

Xét hàm số f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} . Gọi y ′ = f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c = A x 2 + B x + C {\displaystyle y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=Ax^{2}+Bx+C} là đạo hàm cấp 1 của f(x). Xét Δ = B 2 − 4 A C {\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}

Nếu Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , f(x) có 2 điểm cực trị. Gọi x 1 {\displaystyle x_{1}} và x 2 {\displaystyle x_{2}} (với x 1 < x 2 {\displaystyle x_{1}<x_{2}} ) là 2 nghiệm của f'(x). Khi đó:

• nếu a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng ( x 1 ; x 2 ) {\displaystyle (x_{1};x_{2})} và đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; x 1 ) {\displaystyle (-\infty ;x_{1})} và ( x 2 ; + ∞ ) {\displaystyle (x_{2};+\infty )} ; điểm A 1 ( x 1 , f ( x 1 ) ) {\displaystyle A_{1}(x_{1},f(x_{1}))} là điểm cực đại và A 2 ( x 2 , f ( x 2 ) ) {\displaystyle A_{2}(x_{2},f(x_{2}))} là điểm cực tiểu.

x {\displaystyle x}	− ∞ {\displaystyle -\infty } x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} + ∞ {\displaystyle +\infty }
y ′ {\displaystyle y'}	+ {\displaystyle +} 0 − {\displaystyle -} 0 + {\displaystyle +}
y {\displaystyle y}	− ∞ ↗ f ( x 1 ) ↘ f ( x 2 ) ↗ + ∞ {\displaystyle -\infty \nearrow f(x_{1})\searrow f(x_{2})\nearrow +\infty }

• nếu a<0, hàm số đồng biến trên khoảng ( x 1 ; x 2 ) {\displaystyle (x_{1};x_{2})} và nghịch biến trên các khoảng ( − ∞ ; x 1 ) {\displaystyle (-\infty ;x_{1})} và ( x 2 ; + ∞ ) {\displaystyle (x_{2};+\infty )} ; điểm A 1 ( x 1 , f ( x 1 ) ) {\displaystyle A_{1}(x_{1},f(x_{1}))} là điểm cực tiểu và A 2 ( x 2 , f ( x 2 ) ) {\displaystyle A_{2}(x_{2},f(x_{2}))} là điểm cực đại.

x {\displaystyle x}	− ∞ {\displaystyle -\infty } x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} + ∞ {\displaystyle +\infty }
y ′ {\displaystyle y'}	− {\displaystyle -} 0 + {\displaystyle +} 0 − {\displaystyle -}
y {\displaystyle y}	+ ∞ ↘ f ( x 1 ) ↗ f ( x 2 ) ↘ − ∞ {\displaystyle +\infty \searrow f(x_{1})\nearrow f(x_{2})\searrow -\infty }

Nếu Δ ≤ 0 {\displaystyle \Delta \leq 0} , f(x) không có điểm cực trị, đồng biến trên R nếu a>0 và nghịch biến trên R nếu a<0.

Ta có bảng sau:

	a>0	a<0
Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0}	x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } x 0 {\displaystyle x_{0}} + ∞ {\displaystyle +\infty } y ′ {\displaystyle y'} + 0 + y {\displaystyle y} − ∞ ↗ + ∞ {\displaystyle -\infty \nearrow +\infty }	x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } x 0 {\displaystyle x_{0}} + ∞ {\displaystyle +\infty } y ′ {\displaystyle y'} - 0 - y {\displaystyle y} + ∞ ↘ − ∞ {\displaystyle +\infty \searrow -\infty }
Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0}	x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } y ′ {\displaystyle y'} + y {\displaystyle y} − ∞ ↗ + ∞ {\displaystyle -\infty \nearrow +\infty }	x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } y ′ {\displaystyle y'} - y {\displaystyle y} + ∞ ↘ − ∞ {\displaystyle +\infty \searrow -\infty }

Cách làm trên vẫn đúng khi sử dụng Δ ′ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \Delta '=b^{2}-3ac} thay cho Δ = B 2 − 4 A C {\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}

Đồ thị

Đồ thị hàm số y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

Đồ thị hàm số y = f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} có các tính chất sau:

• Có tâm đối xứng là điểm I ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle I(x_{0},f(x_{0}))} với x 0 {\displaystyle x_{0}} là nghiệm của f''(x). I còn được gọi là điểm uốn của đồ thị.
• Có hình dạng phụ thuộc vào nghiệm của f'(x) và hệ số a.